讀完 Pearl Professor (Www.pearlprofessor.org). 分享的「對水」故事，我第一個反應不是「要換幾次水」，而是——
這根本是一條活生生的指數函數教材。

而且是那種學生一聽就會問：「Sir，咁原來數學真係有用㗎？」

一、為什麼這不是普通的「換水題」？

表面看來，「對水」像是一條簡單的百分比計算題：

  • 每次倒走 30% 舊水
  • 再補回 30% 新水
  • 水量永遠維持 1 公升

但真正的關鍵是這一句：

「每一次倒走的 30%，不是原本的水，而是『剩下的舊水』。」

這一刻，問題就從線性思維，跳進了指數世界。

二、數學模型其實一句就講完

設

  • 第 0 次時，舊水比例 = 1（即 100%）
  • 每次操作後，舊水只剩下原來的 70%

那麼第 ( n ) 次後，舊水比例就是：

舊水比例 = 0.7n

這不是巧合，這是標準的指數衰減模型，和以下情況一模一樣：

  • 放射性衰變
  • 藥物在人體內的代謝
  • 病毒載量下降
  • 金錢「複利的反方向」

珍珠蚌，只是主角換了。

三、為什麼「換 7 次」才夠？

目標很清楚：

舊水 ≤ 10%
即0.7n ≤ 0.1

這時候，數學自然帶我們去到——對數。

但現實世界不能「換 6.46 次水」，
所以我們要向上取整：

✅ 最少要 7 次

這一點，正正是「數學答案」與「實際操作」最漂亮的交會位。

四、為什麼這題特別適合教學生？

因為它同時做到三件中學數學最難做到的事：

1️⃣ 打破「數學只係計數」的印象

學生會發現：

原來數學不是幫你計結果
而是幫你預測過程

2️⃣ 讓指數不是抽象符號

(0.7n) 不再只是圖像上的曲線
而是：

  • 每 15 分鐘
  • 每一次「對水」
  • 每一次珍珠蚌慢慢適應的過程

3️⃣ 自然引出更高階問題

例如：

  • 如果每次只換 20% 呢？
  • 想 95% 新水要幾次？
  • 能否反推「每次應該換幾多水」？

學生不是被「教」，而是被「引誘」去問數學。

五、從數學角度的一句總結

「對水不是慢，而是指數地溫柔。」

珍珠蚌需要的，不是一刀切的環境轉換，
而是一條平滑、可預測、可計算的適應曲線。

而數學，正正就是那條曲線。